Nonlinear parabolic equations, relaxation and roughness

• Published in: Bulletin des sciences mathématiques Vol. 127; no. 4; pp. 313 - 327
• Main Authors: Aubin, Thierry, Ławrynowicz, Julian, Wojtczak, Leszek
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Amsterdam Elsevier SAS 01-06-2003; Elsevier
• Subjects: Exact sciences and technology; Mathematical analysis; Mathematics; Partial differential equations; Sciences and techniques of general use; 35K10; Non linear equation; Relaxation; Parabolic equation; Mathematical analysis; Dirac equation; Roughness; Ginzburg Landau equation; Free energy function; Partial differential equation; Linearization
• ISSN: 0007-4497; 1952-4773
• DOI: 10.1016/S0007-4497(03)00031-9

In a recent paper, Aubin and Coulouvrat (1998) dealt with equations of motion in the fluid in relaxation – mathematically: Burgers' equations, physically: continuity equations, Navier–Stokes equations, energy bilance, and equations of relaxation. A related equation of Ginzburg and Landau type (1965) extended for the kinetic depinning transitions takes its form
(0)
∂m
∂t
=J
∂
2m
∂z
2
−V
∂m
∂z
−Am−Cm
3.
The present authors are interested in an analogue of (0) for
(x,t,τ)∈
R
5,
R
9
or
R
13
with
x∈
R
3,
R
7
or
R
11
, respectively, with space or time character of 
τ [Ławrynowicz and Suzuki (2000)]:
ds
2=−dx
1
2−⋯−dx
p
2−λ
dτ
2+c
2
dt
2
with
λ=1
or
−1;
p=3,7
or
11.
Hence, they investigate the equations of the form
(1)
∂u
∂t
=b
Δ
p+λ
∂
2
∂τ
2
u+η
with
λ=1
or
−1;
Δ
p=
∂
2
∂x
1
2
+⋯+
∂
2
∂x
p
2
,
p=2,3,…,
and their generalizations related to the generalized d'Alembertian □
p
λ
=Δ
p
+
λ∂
2/
∂τ
2.
Dans un article récent, Aubin et Coulouvrat (1998) ont étudié des équations décrivant le mouvement d'un fluide avec relaxation ; mathématiquement : l'équation de Burgers, physiquement : les équations de continuité et de Navier–Stokes, le bilan énergétique et les équations de relaxation. Une équation apparentée du type Ginzburg–Landau (1965) étendue aux transitions sans blocage cinétique, prend la forme :
(0)
∂m
∂t
=J
∂
2m
∂z
2
−V
∂m
∂z
−Am−Cm
3.
Les présents auteurs s'intéressent à un analogue de (0) pour
(x,t,τ)∈
R
5,
R
9
ou
R
13
avec
x∈
R
3,
R
7
or
R
11
, respectivement, avec 
τ une variable d'espace ou de temps [Ławrynowicz and Suzuki (2000)] :
ds
2=−dx
1
2−⋯−dx
p
2−λ
dτ
2+c
2
dt
2
avec
λ=1
or
−1;
p=3,7
ou
11.
D'où ils considèrent les équations de la forme
(1)
∂u
∂t
=b
Δ
p+λ
∂
2
∂τ
2
u+η
with
λ=1
or
−1;
Δ
p=
∂
2
∂x
1
2
+⋯+
∂
2
∂x
p
2
,
p=2,3,…,
et leurs généralisations relativement ou d'Alembertian □
p
λ
=Δ
p
+
λ∂
2/
∂τ
2.