Scindements de foncteurs composés

• Published in: Journal of algebra Vol. 290; no. 1; pp. 221 - 249
• Main Author: Troesch, Alain
• Format: Journal Article
• Language: French
• Published: Elsevier Inc 01-08-2005
• Subjects: Ext-groups; Functor categories; Symmetric powers; Taylor functors; Symmetric powers; Taylor functors; Ext-groups; Functor categories
• ISSN: 0021-8693; 1090-266X
• DOI: 10.1016/j.jalgebra.2005.05.001

Cet article étudie un cas de décomposition naturelle de pléthysme. On travaille dans la catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps premier
F
p
. Une décomposition de la
nième puissance symétrique
S
n
○
B
est établie pour tout foncteur
B prenant ses valeurs dans les algèbres
p-booléennes, c'est-à-dire dans les algèbres dont le produit vérifie :
x
p
=
x
. L'enveloppe injective du foncteur identité est un exemple d'un tel foncteur
B. On applique ce résultat à des calculs de cohomologie des foncteurs qui apparaissent dans l'étude de la cohomologie des espaces d'Eilenberg–Mac Lane.
A case of natural decomposition of plethysm is studied. We work within the category of functors between vector spaces over a prime field
F
p
. The symmetric power
S
n
○
B
of a functor
B is shown to split when
B takes
p-boolean algebras values—these are algebras whose product satisfies
x
p
=
x
. The injective envelope of the identity functor takes such values. This is applied to functor cohomology computations, which are relevant to the study of the cohomology of Eilenberg–Mac Lane spaces.